深入浅出正态分布

觉明智慧

统计学里面，正态分布（normal distribution）最常见。质量回顾或持续工艺确认中的多数关键工艺参数（CPP）、关键质量属性（CQA），日常中男女身高、寿命、血压、考试成绩、测量误差等等，都属于正态分布。

图1

以前，我认为中间状态是事物的常态，过高和过低都属于少数，这导致了正态分布的普遍性。最近，读到了 John D. Cook 的文章，才知道我的这种想法是错的。

正态分布为什么常见？真正原因是中心极限定理（central limit theorem）。

    "多个独立统计量的和的平均值，符合正态分布。"

图2

上图中，随着统计量个数的增加，它们和的平均值越来越符合正态分布。

根据中心极限定理，如果一个事物受到多种因素的影响，不管每个因素本身是什么分布，它们加总后，结果的平均值就是正态分布。

举例来说，人的身高既有先天因素（基因），也有后天因素（营养）。每一种因素对身高的影响都是一个统计量，不管这些统计量本身是什么分布，它们和的平均值符合正态分布。（注意：男性身高和女性身高都是正态分布，但男女混合人群的身高不是正态分布。）

许多事物都受到多种因素的影响，这导致了正态分布的常见。

读到这里，读者可能马上就会提出一个问题：正态分布是对称的（高个子与矮个子的比例相同），但是很多真实世界的分布是不对称的。

图3

比如，财富的分布就是不对称的，富人的有钱程度（可能比平均值高出上万倍），远远超出穷人的贫穷程度（平均值的十分之一就是赤贫了），即财富分布曲线有右侧的长尾。相比来说，身高的差异就小得多，最高和最矮的人与平均身高的差距，都在30%多。

这是为什么呢，财富明明也受到多种因素的影响，怎么就不是正态分布呢？

原来，正态分布只适合各种因素累加的情况，如果这些因素不是彼此独立的，会互相加强影响，那么就不是正态分布了。一个人是否能够挣大钱，由多种因素决定：

  

• 家庭
• 教育
• 运气
• 工作
• ...
  

这些因素都不是独立的，会彼此加强。如果出生在上层家庭，那么你就有更大的机会接受良好的教育、找到高薪的工作、遇见好机会，反之亦然。也就是说，这不是 1 + 1 = 2 的效果，而是 1 + 1 > 2。

统计学家发现，如果各种因素对结果的影响不是相加，而是相乘，那么最终结果不是正态分布，而是对数正态分布（log normal distribution），即x的对数值log(x)满足正态分布。

图4

这就是说，财富的对数值满足正态分布。如果平均财富是10,000元，那么1000元～10,000元之间的穷人（比平均值低一个数量级，宽度为9000）与10,000元~100,000元之间的富人（比平均值高一个数量级，宽度为90,000）人数一样多。因此，财富曲线左侧的范围比较窄，右侧出现长尾。

                                                                                                                                                                                                                           转载于GMP助手

sxp

说的都对，但是把正态分布和中心极限定理这样联系起来，很容易踩坑，我就是踩过的，对正态分布的理解反倒出了问题。

吾也与点

有见解。。。。

大呆子

sxp 发表于 2021-4-1 07:57
说的都对，但是把正态分布和中心极限定理这样联系起来，很容易踩坑，我就是踩过的，对正态分布的理解反倒出 ...

说说你的体会

永春膏药-小戴

中心极限定理的原理就是样本均值（注意是均值）的波动（注意是波动）符合正态分布，当样本容量无限接近与总体时，样本均值将接近于总体均值。因此我们不需要知道总体分布到底是什么分布（除了柯西分布这样的特例），我们也能运用，才能够进行6西格玛控制等这些控制工具。

sxp

大呆子 发表于 2021-4-1 08:04
说说你的体会

以前有个流毒已久的说法：，只要数据足够多，比如超过30个，就不用考虑是否正态，因为中心极限定理的原因，这个说法流毒很久，其实中心极限定理在具体的工作中直接用的不多，不需要和正态联系起来，会弄糊涂很多人的。

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 08:10
以前有个流毒已久的说法：，只要数据足够多，比如超过30个，就不用考虑是否正态，因为中心极限定理的原因 ...

中心极限定理更大的作用是用于控制图，CPK、PPK计算需要考虑到样本分布模型。

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 08:15
中心极限定理更大的作用是用于控制图，CPK、PPK计算需要考虑到样本分布模型。

你看，糊涂了吧，控制图什么时候用中心极限定理啊？（我说的是直接应用，不是原理）

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 08:19
你看，糊涂了吧，控制图什么时候用中心极限定理啊？（我说的是直接应用，不是原理）

没有糊涂，控制图不需要知道样本、总体的分布模型，按正态分布计算即可。

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 08:09
中心极限定理的原理就是样本均值（注意是均值）的波动（注意是波动）符合正态分布，当样本容量无限接近与总 ...

不考虑总体分布，微生物你用什么控制图》

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 08:09
中心极限定理的原理就是样本均值（注意是均值）的波动（注意是波动）符合正态分布，当样本容量无限接近与总 ...

当样本容量无限接近与总体时，看到这个前提了吗？在我们制药行业，什么时候会出现样本容量无限接近与总体？所以这句话你说原理没错，但是实际应用会很容易误导。

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 08:21
没有糊涂，控制图不需要知道样本、总体的分布模型，按正态分布计算即可。

是吗？还没糊涂？控制图不需要？微生物属于泊松分布，你用正态？很多数据都不是正太的，悬浮粒子，还有很多即使是计量型数据，比如堆密度等，因为测量精度的问题，也不是 正态，还有如片重片厚等，因为可能在生产过程随时调整，也可能不是正态，你都不考虑分布，直接用？

公子小德

赞，写的挺好

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 08:22
不考虑总体分布，微生物你用什么控制图》

微生物属于连续型数据？大哥，默认连续型数据才说正态，OK

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 08:29
是吗？还没糊涂？控制图不需要？微生物属于泊松分布，你用正态？很多数据都不是正太的，悬浮粒子，还有很 ...

可以用，只要是连续型数据，控制图就可以用。除非柯西分布这种特例。

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 08:29
是吗？还没糊涂？控制图不需要？微生物属于泊松分布，你用正态？很多数据都不是正太的，悬浮粒子，还有很 ...

我怀疑你没有理解中心极限定理到底说啥?

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 10:25
可以用，只要是连续型数据，控制图就可以用。除非柯西分布这种特例。

呵呵，控制图是可以用，但是不是都能用正态的，否则就没有数据转换这么一说了，而且，还有很多不能转换的，不合适转换的，
控制图是和分布息息相关的，不是一个正态分布包打天下，另外，计数类型的数据也是可以做控制图的，控制图不局限于连续型数据。

sxp

永春膏药-小戴 发表于 2021-4-1 10:29
我怀疑你没有理解中心极限定理到底说啥?

你想说啥？我真想学习，中心极限定理在控制图中是怎么应用的。

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 10:32
呵呵，控制图是可以用，但是不是都能用正态的，否则就没有数据转换这么一说了，而且，还有很多不能转换的 ...

第一:中心极限定理与原数据是不是正态没有任何关系；
第二：非连续数据有另外的要求进行数据分层与计算，有的分布你都无法套用分布模型，只能利用极大然概率推算可能的分布模型，在按照流程画控制图；
回到我们的不同点，任何数据都可以应用中心极限定理（除非柯西分布），非正态分布有另外的算法与流程，我说的是中心极限定理与样本或者总体分布没有关系（除非柯西分布），而不是说什么数据都可以套正态分布画控制图。

永春膏药-小戴

sxp 发表于 2021-4-1 10:35
你想说啥？我真想学习，中心极限定理在控制图中是怎么应用的。

控制图的原理就是中心极限定理，没有这个原理， 你没有办法用控制图这个工具。